Der auf HERON von Alexandrien (etwa 130 n. Chr.) zurückgehende Heron-Algorithmus ist wesentlich schneller als das Halbierungsverfahren.
Die geometrische Idee hinter dem Heron-Verfahren zur Bestimmung von \( \sqrt{2} \) ist, dass es ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 2 geben muss, dessen Kantenlänge dann gerade \( \sqrt{2} \) ist.
Man sucht also eine nicht negative Zahl \( x \), die \( 2 \) zerlegt: \( 2 = x \cdot x \).
Nimmt man zunächst einmal einen Näherungswert \( x_1 \) an, dann kann man \( 2 \) in folgendes Produkt zerlegen:
\[ 2 = x_1 \cdot \frac{2}{x_1} \]
Man kann nun zeigen, dass \( \sqrt{2} \) zwischen \( x_1 \)und dem zugehörigen Wert \( y_1 = \frac{2}{x_1} \) liegt. Damit hat man ein erstes Intervall für \( \sqrt{2} \). Bildet man nun das arithmetische Mittel zwischen \( x_1 \) und \( y_1 \), so erhält man einen besseren Näherungswert \( x_2 \). Zu ihm bestimmt man den zugehörigen Wert \( y_2 \) und damit ein kürzeres Intervall, das im vorigen enthalten ist.
Die Berechnung der Näherungswerte \( x_i \) erfolgt nach der Rekursionsformel:
\[ x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{2}{x_n}\right) \]Geometrisch bedeutet das, dass ein Rechteck mit den Seitlängen \( x_i, y_i \) immer weiter einem Quadrat angenähert wird.
Das Verfahren lässt zur Bestimmung der Quadratwurzeln aller natürlichen Zahlen \( n \) einsetzen. Es konvergiert für jeden Anfangswert \( x_1 \neq 0 \) gegen \( \sqrt{n} \).