Beweis der Irrationalität von \( \sqrt{2} \)

Dieser Beweis ist häufig der erste indirekte Beweis, den die Schülerinnen und Schüler kennenlernen.

Satz: \( \sqrt{2} \) ist nicht rational.

Umformulierung 1: Es gibt keinen gekürzten Bruch \( \frac{p}{q} \), so dass gilt \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \).

Umformulierung 2: Es gibt keine rationale Zahl \( x = \frac{p}{q} \) mit \( x^2 = 2 \).

Indirekter Beweis:

Annahme:

Angenommen es gäbe eine rationale Zahl \( \frac{p}{q} \) mit \( (\frac{p}{q})^2 = 2 \), wobei der Bruch vollständig gekürzt sei, also \( ggT(p,q)=1 \). Wegen der Teilerfremdheit von \( p \) und \( q \), muss mindestens eine der Zahlen ungerade sein.

Folgerung:

Aus \( (\frac{p}{q})^2 = 2 \) folgt \( p^2 = 2q^2 \). Das heißt \( 2 \) teilt \( p^2 \) und somit ist \( p \) eine gerade Zahl. Es gilt also \( p = 2k \), für eine bel. natürliche Zahl \( k \). Dann ist \( p^2 = 2q^2 = 4k^2 \) . Aus \( q^2 = 2k^2 \) folgt analog zu oben, dass \( q \) eine gerade Zahl sein muss.

Das sowohl \( p \) als auch \( q \) gerade Zahlen sind, stellt einen Widerspruch zur Annahme dar, die damit falsch sein muss.

Beweisen Sie allgemeiner die Irrationalität aller Zahlen \( \sqrt{q} \), wobei \( q \) eine Primzahl ist.